【学习内容】北师版小学数学四年级下册第27————28页的小编精心为您带来了三角形三边关系（优秀5篇），如果对您有一些参考与帮助，请分享给最好的朋友。
【关键词】三角形 三边关系 特点 重点 关键点
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2013）07A-0064-02
在“三角形三边关系”的教学中，学生对于“三角形两条边的长度和大于第三边”的真正含义比较难理解。怎样在教学过程中对这个问题进行有效的突破，下面谈谈个人的一些教学体会。
一、聚焦三边关系的特点，寻找最佳突破口
三角形三边关系的特点是“三角形两边的和大于第三边”。在教学开始时，让学生用小棒摆三角形，小棒的长度分别为10厘米、6厘米、5厘米、4厘米不等，这样就出现有些小棒可以围成三角形，有些不能围成三角形。出现这两种不同的情况，应该选哪一种作为突破呢？有一位教师是这样教学的：
师：你们用小棒摆的图形中，边的长度有什么关系？
根据学生回答，教师在各自的图形下板书算式：
师引导学生观察图①、图②，提问：这两种情况为什么能围成三角形呢？学生回答：因为每两条边的和都大于第三边，能围成三角形。
师再指图③、图④问：这两种情况为什么不能围成三角形？是哪两边的长度和没有大于第三边呢？
学生发现图③、图④因为较短两条边之和不大于第三边，所以不能围成三角形。
教师引导学生小结：三角形中，任意两条边的长度和大于第三边。所以，判断能否围成三角形，只要看较短两边的长度和是否大于第三边就可以了。
在上述的教学中，看似学生顺手、课堂顺利、教师顺心，似乎没有什么欠缺和漏洞，但总有一种强拉着学生“吃快餐”的感觉。学习过程中我们感觉不到学生主动探知的欲望，而是教师让观察什么，学生就观察什么；教师引导发现什么，学生就发现什么。学生的思维被“绑架”着去思考教师的问题。在设计课堂教学的同时，教师没有意识到学生也被“设计”了。
为了让学生产生探究的欲望，笔者进行了这样的设计：
游戏导入：全班分成4个组，把任意的3根小棒分给每个组，比一比哪一组围成三角形的速度快。
学生操作几分钟后，有些组利用小棒围不成三角形，然后引导学生讨论：为什么有两组的3根小棒围不成三角形呢？怎样改变小棒的长度就能围成？三条边的长度要满足什么条件才能围成三角形？
学生在富有挑战的游戏中，迅速把思维聚焦到不能围成三角形的原因分析上。在寻找原因和解决问题的过程中，学生明白了：不是任意长度的3根小棒都能围成三角形，只要其中有2根小棒的长度和小于或等于第三边，就不能围成三角形。
这样，学生真正找到了不能围成的原因，很好地理解了围成三角形所需要的三边长度关系。以“不是”来诠释“是”，比不厌其烦地强调和枯燥无味地重复，更易于让学生理解。
二、抓住三边关系的重点，引导学生全面感知
从不能围成三角形的图形上，学生直观地看到了：因为其中一组两条边的长度之和没有大于第三条边，所以不能围成三角形。这种认识还是肤浅、片面的，学生的眼睛里看到的、大脑中想到的，只有不能围成的两条边，其他两组两条边的长度和是否也要大于第三条边呢？他们基本不会去思考。如何让学生由对其中两条边长度和的关注，成功“引渡”到对每两条边长度和的关注？为此，笔者设计这样的教学：
月月拿着7厘米、2厘米、4厘米的3根小棒，联想到刚学过的三角形三边关系，她兴奋地大叫：“7+2>4，这3根小棒能围成三角形。”同学们，你们认为月月说得对吗？
此时，可留足时间让学生畅所欲言，鼓励他们先动手操作，再发表自己的观点。
讨论后，学生发现：虽然7+2>4，7+4>2，但是2+4
为加深理解，再利用课始的四幅图，进行验证。通过学生的操作与比较，全面感知了“三角形两条边的长度和大于第三条边”中的“两条边”是指任意的“两条边”。
三、突出三边关系的关键点，实现方法的自主优化
三角形任意两条边的长度和都大于第三边，才能围成三角形，其中关键点就是较短两条边的长度和大于第三边。如何突出这个关键点，让学生主动产生优化的需要，并被大部分学生接受呢？
笔者采用了设置障碍的方法，让学生自己找寻解决问题的出路：出示一些小棒，让学生判断哪些能围成三角形，哪些不能？
为了更有说服力，再设计这样的活动：提供标有厘米刻度的小棒，让学生任意剪出三根整厘米的，根据较短两条边的长度和与第三边的关系，判断能否围成三角形，再进行验证。
【反思】
笔者曾想，三角形三边关系的教学，有必要这么曲折吗？先初步感知其中两条边的长度和不能等于或小于第三边，再全面认识任意两条边的长度和大于第三边，最后自动优化出只要较短两条边的长度和大于第三条边就可以围成三角形。为什么不可以开门见山，避繁就简，在学生操作出不能围成的情况时，就顺势引导得出：较短两条边的长度和大于第三边呢？这样不是更加省时省事吗？
带着上述疑问，笔者重新审视三角形的三边关系，觉得本节课的探讨可分为三个不同的层次，虽然重点都在三角形两边的长度和与第三边的关系上，但每一层次的侧重点却有所不同。
第一层次：学生凭借直观操作看到了：因为存在着两边的长度和小于或等于第三边，三条线段不能首尾相连或不能形成三个角，所以不能围成三角形。至于其他的任意两边的长度和与第三边有什么关系，学生不会考虑。学生对三角形边的关系的了解是表象的、片面的、肤浅的，所以在这一层次就迫不及待地让学生得出较短两边长度和大于第三边就能围成三角形，难免会“揠苗助长”。
第二层次：通过有意设计月月认为7厘米+2厘米>4厘米，所以7厘米、2厘米、4厘米三条线段一定能围成三角形的故事的探讨，让学生意识到仅有一组或两组两条边的长度之和大于第三边是不行的，必须满足任意两条边的长度和都大于第三边，才可以围成三角形。这样，学生的注意焦点自然而然就从对一组边的片面关注过渡到对三组边的全面关注。学生也从肤浅的数学直观感觉，深入到对三角形三边关系基本特征的理性思考。
第三层次：让学生在繁琐的计算中产生优化方法的需求。因为每次都计算三组算式，太繁了，也没有必要，只要找到其中一组两边长度和不大于第三边就行了，从而升华到只要看较短两边的长度和是否大于第三条边就可以了。这一判断方法，个别学生能够发现，但大部分学生理解起来还是比较抽象。为了更有说服力，笔者安排学生剪下整厘米的三根线段，让学生先根据较短两边的长度和与第三边的关系进行判断，再动手围一围，以验证判断的正确性。
这样，学生的认识经历了由肤浅到深刻、由片面到全面，循序渐进、螺旋上升的过程。如果省略了认识过程，学生错过对三角形三边关系认识的许多体验，就会失去很多探究的乐趣！
三角形三边关系的认识，过程虽然曲折，但却不可简化。那么，为什么教材上的结论是“三角形两条边的长度和大于第三边”而不是“较短两条边的长度和大于第三边”呢？笔者认为，三角形两条边的长度和大于第三边是三角形三边关系的基本特性，而“较短两条边长度和大于第三边”是由基本特性优化出的简便判断方法，对学生的理解要求比较高，可供学有余力的学生探讨、研究。（责编 韦建成）
【关键词】三角形；判断；边边；角角
三角形是由三条线段首尾顺次连结而形成的图形。它主要由元素“边”、“角”组成。因此，按其边分类可分为：不等边三角形、等边三角形、等腰三角形。按角分类可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
故一般判断三角形的形状，可分为判断几种特殊的类型：等腰三角形、等边三角形、直角三角形。下面浅淡一下判断这几类三角形的方法：
一、勾股定理逆定理的运用
根据勾股定理逆定理，在三角形中，只要三边满足关系式a2=b2+c2或b2=c2+a2或c2=a2+b2则此三角形定为直角三角形，因此当条件中有边边关系且有平方关系时，我们首先用勾股定理的逆定理进行考证：
例1 已知三角形三边满足关系：
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c判断此三角形的形状。
分析：此题中只有边边关系，因此，我们用勾逆定理验证，但没有直接的条件说明，故应制造条件，求出边长或边边关系，这里主要运用配方法：
解：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c
（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0
（a-5）2≥0，（b-12）2≥0+（c-13）2≥0
a=5，b=12，c=13
a2+b2= c2
三角形为直角三角形
二、三角法
首先将条件中的边角关系，由正余弦定理统一为“角角”关系或“边边”关系，再由三角变成代数，变形分解因式从而判别形状。
例2 ABC中，bcosB=ccosC，试判断三角形ABC的形状。
分析：已知条件中既有边，又有角。通常是把它统一为“角角”或“边边”关系。
解：方法1 由余弦定理有：
a2+c2-b2 a2+b2-c2
b·————=c·————
2ac 2ab
去分母得：b2（a2+c2-b2）=c2（a2+b2-c2）
即：a2b2-b4-a2c2+c4=0
a2（b2-c2）-（b2+c2）（b2-c2）=0
（b2-c2）（a2-b2-c2）=0
b2=c2即b=c或a2=b2+c2
ABC为等腰三角形（b=c）或直角三角形（∠A=90°）
方法2：由正弦定理b=2RsinB c=2RsinC代入式中得：
2RsinBcosB=2RsinCcosC
sin2B=sin2C
B=C或2B=π-2C
2B=π-2C
B+C= π —2
ABC为等腰三角形（B=C）或直角三角形（∠A =90°）
三、韦达定理及判别式的运用
当题设中的条件与一元二次方程有联系，并且此一元二次方程的各项系数与三角形的边或角相关时，用韦达定理或判别式将其边或角转化为“边边”或“角角”关系，从而判别其形状。
例3 已知关于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，其中a、b、c是ABC的边长，判断ABC的形状。
解：设此方程两根分别为x1，x2由韦达定理有：
x1+x2= 2b —— a+c =-1
x1·x2= c-a —— a+c
x1-x2=
x1- x2=
=0，（a+c）≠0
a=c
又-=-1
=1 a=b
ABC为等边三角形
四、利用平面几何知识
当题设中的条件与平面几何知识密切联系，此时，利用平面几何的有关知识找出所要判断的三角形的边角关系。
例4 已知等腰梯形ABCD中，AB//CD（AB
解：分别连结BE、CF
四边形ABCD是等腰梯形
又∠AOB=60°
AOB与DOC均为正三角形
E、F分别是OA、OD的中点
BEOA，CFOD，EF=AD
G是BC的中点
EG =BC GF =BC
又BC=AD
EF=FG=EG
一、解三角形与判定三角形全等之间的关系
解三角形讨论的是三角形中的各种几何量之间的关系，如边、角、面积、外接圆半径和内切圆半径等之间的关系，而正弦定理和余弦定理是解三角形的主要工具。平面几何主要是从定性的角度研究三角形，解三角形主要是从定量的角度研究三角形中的各种几何量之间的关系，是用解析的方法研究三角形。两种研究角度不同，可以互补，相得益彰。
判定三角形全等的公理有：边角边公理(SAS)、边边边公理(SSS)、角边角公理(ASA)和角角边公理(AAS)。其中至少有一个元素是边，仅有三个角(AAA)对应相等的两个三角形相似但不全等。判定三角形全等条件的几何意义是三角形的其它变量可以用所给的一组变量表达。如，SSS公理判定三角形全等的几何意义是：ABC三边的长可以唯一地确定它的三个内角，如已知ABC的三边，可用余弦定理的推论，求得三角。SAS公理判定三角形全等的几何意义是：ABC的两条边的长及其夹角唯一地确定了第三边的长，进而唯一地确定了它的其余两条边长。如已知ABC的两边及其夹角C，可以用余弦定理求出第三边。这时，三边已知，可用余弦定理的推论求出其余两角。这正是余弦定理可以解决的两类问题：已知三边，求三角(SSS)；已知两边及其夹角，求第三边和其余两角(SAS)。
角边角(ASA)公理和角角边公理(AAS)借助三角形内角和定理，可以认为是实质相同的，其几何意义是ABC的两角和任一边可以唯一确定其余的角和边，如已知ABC的两角A，B和夹边c，可以求出这是正弦定理所能解决的一类问题：已知两角和任一边，求其余的边和角(ASA，AAS)。正弦定理还能解决一类问题：已知两边和其中一边的对角，求第三边和其余两角(SSA)。从几何意义上讲，SSA不能判定三角形全等，也就不能唯一确定一个三角形，表现在用正弦定理解三角形时会出现两解、一解和无解的情况。
从正弦定理和余弦定理的角度看，判定三角形全等的边角边公理(SAS)、边边边公理(SSS)、角边角公理(ASA)和角角边公理(AAS)是相互等价的。
由上可见，研读教材时，要从整体和全局的高度把握教材，了解教材的结构、地位作用和相互联系，使之相互诠释补充，产生新的见解。教学中，剖析透彻三角形全等的判定公理与解三角形之间的关系，可以完善学生的认知结构，将初中知识升华。
二、数学思想方法
数学思想方法的教学是数学教学中的重要组成部分，有利于加深学生对数学知识的理解和掌握，提高学生解决数学问题的能力。本节的两个主要结论是正弦定理和余弦定理，教学中应重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
在正弦定理部分，考虑到不容易直接得出一般三角形中边和角的关系，可以先引导学生在直角三角形中，考虑与边角有关的三角函数知识来发现这一规律，接着猜想这一规律的一般性，然后在锐角三角形和钝角三角形中进行证明，从而得出正弦定理，这一过程体现了由特殊到一般和分类讨论的数学思想。在锐角三角形和钝角三角形中证明结论时，也是通过作高将其转化为直角三角形进行证明，体现了转化与化归的数学思想。
在余弦定理部分，得出余弦定理后，分析余弦定理的形式并提出已知三边求角的问题，结合方程的思想得出余弦定理的推论，从数量化的角度刻画了判定三角形全等的“边、边、边”结论。在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中。提出了一个思考问题：“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系。如何看这两个定理之间的关系？”进而结合余弦函数的性质分析得出：余弦定理是勾股定理的推广，把勾股定理纳入到余弦定理的知识系统中，体现了从一般到特殊的思想。
正弦定理和余弦定理的应用，都通过两种不同类型的例题介绍。正弦定理主要介绍“角角边”和“边边角”两种类型，余弦定理主要介绍“边角边”和“边边边”两种类型，体现了分类讨论的思想。
三、数学知识之间的联系
正弦定理和余弦定理的证明和应用中涉及诸多数学知识，如向量、三角函数、解析几何等，教学时应予以注意。
正弦定理和余弦定理刻画了三角形中边角的数量化关系，与初中学过的三角形中边角的基本关系和判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？”在引入余弦定理内容时，从初中所学的三角形全等出发，定性说明已知三角形两边及夹角则该三角形完全确定，从而提出问题：已知三角形两边及夹角能否定量计算第三边呢？最后，正弦定理和余弦定理落脚于解三角形，使初中学习的判定三角形全等的公理得到了理性化的解释。是定性到定量的升华，也可以说二者在这里找到了共鸣，融为一体。这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
1、三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。在直角三角形中，两个锐角互余。在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
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等腰三角形三条边的关系：在三角形中任意两边长度之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，等腰三角形的两个底角度数相等。至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
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