作为一位杰出的老师，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。如何把教案做到重点突出呢？这里给大家分享一些关于高中数学余弦定理教案，方便大家学习。它山之石可以攻玉，下面是编辑帮大伙儿整编的余弦定理教案（最新9篇），希望能够帮助到大家。
关键词：学案导学；课堂探究；课后
一、“学案导学”的理论依据与现实依据
德国教育家第斯多惠曾说过：“如果使学生习惯于简单地接受或被动地学习，任何方法都是坏的；如果能激发学生的主动性，任何方法都是好的。”著名学者埃德加・富尔也认为：“未来的文盲，不再是不识字的人，而是没有学会怎样学习的人。”二期课改中明确提出，当今的课堂，学生是主体，教师是主导，这与建构主义的观点不谋而合。建构主义认为，人是通过体验事物和反思自己的经验构建自己对世界的理解和知识，建构主义提倡在教师指导下以学习者为中心的学习。让学生成为学习的主体，有利于学生对知识、规律、原理、技能的理解和掌握。
学案导学教学模式，是指以学案为载体，以导学为方法，教师的指导为主导，学生的自主学习为主体，师生共同合作完成教学任务的一种教学模式。它遵循了“以人为本”的教学原则，迎合了当前新课改的要求，对于发挥学生的主体作用，发展学生的自学和探究能力有着积极作用。
二、在“学案导学”模式下如何让学生动起来
在“学案导学”模式中，学生根据教师设计的学案，认真阅读教材，了解教材内容，然后根据学案要求完成相关内容，学生可提出自己的观点或见解，师生共同研究学习。所以“学案导学”模式的教学可分为三个阶段：课前阶段、课中阶段和课后阶段。
1.课前阶段
学生预习，自主探究，做到心中有数。课前发给学生学案预习，鼓励学生将预习过程中的疑惑用自己的话三言两语写在学案的空白处。
教师运筹帷幄，把准学情脉搏。教师通过批改部分学案或和学生沟通等途径充分获得学生预习的反馈信息，对学生的疑点或不足分类归纳；发现一些学生独特的学习方法和技巧，从而加以引导和推广，以使上课的讲解和讨论更具针对性。
2.课堂探究阶段
上课时，在学生预习的基础上，教师根据教材内容和对学情的把握，围绕有关知识设置若干问题，供学生讨论。问题的设置要：有悬念――激发学生主动获取信息的兴趣；有适当的难度――让部分学生有展示自己探索和解决问题能力的机会，让他们既有“跳”的机会，也能“摘到桃子”；对一些难点，教师要及时针对讨论过程中学生碰到的实际障碍，给予适当的点拨、提示，引导学生进行正确的思考，最终由学生自己得出结论，使学生更积极地参与到课堂学习中。
（1）因势利导，给学生提供“动”的支点――学生思维过程的展现
确立学生的主体地位，并不是削弱教师的主导作用，相反对教师的要求更高，教师更应明确新课程的理念、课程目标、内容标准。课前需仔细地分析学生的具体情况，上课时更要根据学生的实际情况，及时调整课堂程序，引导学生主动学习，确立学生在学习中的主体地位，让学生动起来。
这是一个求三角函数对称中心、对称轴的学案，笔者通过对部分学案的批改，发现在解决数学问题时，数形结合对学生来讲还是一个难点，有的学生虽然用了数形结合的方法，但对规律的归纳还是把握得不好，所以笔者决定在处理这部分教学内容时要放慢节奏，教师引导，让学生多参与，多总结。
笔者在黑板上画出正弦、余弦函数的图象，然后让学生找出几个余弦函数的对称轴，进展非常顺利，进一步回答问题（1），由于课前的预习，这个问题学生障碍不大，很容易找出了余弦函数的所有对称轴；但解决问题（2）时，有的学生就不置可否了，这时笔者从余弦图象产生的过程来引导，学生开始对余弦函数图象的中心对称性质没有异议；接下来找正弦函数的对称中心和对称轴，给学生几分钟讨论，然后让一位学生上黑板写出正弦函数的对称中心和对称轴；接着又让学生分组讨论如何用自己的话总结出求正弦、余弦函数对称轴、对称中心的方法，在学生讨论的同时，笔者也参与到部分学生的讨论中，给予适当的引导；然后让学生交流发言，共同总结、提炼，得出正、余弦函数图象的对称中心就是图象上的平衡位置，对称轴是在函数取最值时取到。
在这堂课上，笔者通过课前批阅学生的学案发现了学生中存在的问题，在上课时给学生充分的时间思考和讨论，层层深入，积极引导学生得出了正确的结论，有利于学生主体作用的发挥，让学生切身感觉到自己是课堂的主人，是数学题目的操纵者，是数学规律的发现者，获得了良好的教学效果。
（2）建设海纳百川、“求”同“存”异的思维空间――学生思维差异的展现
美国认知心理学家皮亚杰认为，教育的目标是造就批判性思维的头脑、敢于验证问题的头脑，而不是人云亦云的头脑；是培养有创造力、有发现和发明能力的人，而不是只懂得单纯地重复上几代人的工作的人。求异是创新的核心，在教学过程中，我们倡导标新立异、一题多解。在学案导学这种特殊的教学模式下，通过学生课前自主学习，不同学生对同一问题往往会产生不同的看法，在课堂上教师则可以为学生提供展现不同见解的平台。
接下来，笔者趁热打铁，进一步启发学生，有没有更新颖的解法，令笔者欣慰的是，有一位学生由偶函数联想到了余弦函数，由诱导公式直接得到了2t=kπ+（k∈Z）；还有学生认为如果考试中遇到类似填空题的话他可以采用特殊值法……
求异思维是创造性思维的核心，它要求学生凭借自己的智慧和能力，积极、独立地思考问题，主动探索、创造性地解决问题。学生通过预习学案，对同一道题的思维产生分叉，这时，教师要通过合理的引导，让学生充分表达自己的想法，对勇于表达、思维新颖的学生进行表扬，营造一个鼓励求异思维的空间。
（3）采取诱敌深入、将错就错的策略，通过再现学生的错误来警示学生避免类似错误――学生思维误区的再现
学生在学案预习或课堂学习过程中出现对问题的错误理解或错误解法是难免的，教师在学案反馈阶段要找出经典错误，教学过程中通过再现学生的错误，指导学生自我检查、自我纠正，这样不但可以加深学生的印象，避免以后重犯以前的错误，而且有利于培养学生严密的、全面的、自我反省的思维能力和不怕失败的心理品质。
这时刚刚犯类似错误的同学才恍然大悟……
这个小片段淋漓尽致地诠释了这种“诱敌深入”的课堂艺术，通过对学生易犯错误的再现与分析，不仅帮助学生解决了问题，加深了对问题的理解，积累了解题经验，而且使学生从中培养了探索问题的能力和良好的思维习惯。
3.课后小结阶段――虎头“虎”尾，及时总结反馈
一节课下来，笔者鼓励学生课后自己写小结。即在做作业前，简单回顾一下课堂内容，然后动笔在学案上写小结，用自己的话，把自己在这堂课后的收获写下来。这看似简单的事情，学生实际操作起来却不简单。虽然很多学生采纳了老师的建议，但大多数学生尝试过后感觉小结不好写，但这恰恰说明了写课后小结的必要性。课后小结要力求让学生自己归纳、自己分析、自己综合、自己多做一些探索性的实验，敢于质疑，发表自己的见解，然后在教师的指导下，鉴别正误，作出评价。这种学习行为对学生的学习活动、学生求异创新素质的培养和今后的事业将产生重大影响。笔者正在摸索着教会学生如何自己写课后小结的方法。
学案导学改变了过去满堂灌、注入式等陈旧的学习方法带来的重大弊端，将一种新型的易于学生接受的方式引入课堂，改变了学生的学习方法，大大提高了学生学习的主动性和自觉性，学案式导学法是一把宝剑，但它是双刃的，我们需要对其进行探讨研究，用好了，必将为奉贤的教育事业带来巨大的收获。
参考文献：
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[7]何良权。我的“学案导学”[J].教书育人，2003（1）.
【课型】 高中数学必修四第二章“三角函数的图像和性质”高一新授课
【学习目标】
1. 知识与技能：掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、对称性等性质及其性质的简单应用；
2. 过程与方法：借助正弦曲线和余弦曲线，总结出正弦函数、余弦函数奇偶性和单调性，进一步体验“形”对“数”的体现作用。
3. 情感、态度与价值观：通过类比思想、数形结合思想的应用，使学生体会到数学研究乃至科学研究的方法就是用已有的知识去发现、归纳、论证、总结，从而激发学生的学习兴趣，培养学生学好数学的信心。
【学习重点】探究正弦函数、余弦函数的性质。
【学习难点】利用三角函数性质解决简单的问题。
【教学方法】小组合作学习教学法
【教学环节设计】
根据系统论对教学设计的要求，课堂教学应该按照课堂上最可能出现的序列来提出上课步骤。 本节课以加涅的教学设计理论为指导，结合新课程实施中流行的教学设计思想以及教学程序的展示方式，从阶段性目标、老师活动和学生活动三个层面设计课堂进程，以教学事件的方式展示主要的课堂教学环节， 对于次要的、过渡性的课堂内容，则不再一一罗列。 【课堂实录】
教学事件1：创设情境 明确目标
师生共同回顾学习过哪些基本初等函数？研究过这些基本初等函数的哪些性质？研究方法是什么？引出课题“正弦函数、余弦函数的图像和性质2”。 明确本节课的学习目标，创设合作学习情境。
教学事件2：划分小组 任务分工
任务：在短时间内完成合作学习小组的划分，引入竞争机制并明确活动规则。
操作：老师倡议分组竞争的学习方式，并指导学生快速完成分组。 全班划分为6个小组，每个小组均包括上、中、下三个学习层次的学生。 按照本节课的探究环节6个小组展开讨论探究，布置合作学习任务。 让学生积极讨论，最先探究出答案的小组，展示成果，课堂中尽可能安排照顾到每一个小组，对每个小组的表现做出评价。
教学事件3：小组合作完成探究一
任务：完成小组探究一
要求：1. 小组合作探究出正弦函数的性质，并写在学案上；
2. 最先完成的小组，两名同学上台合作展示（写上组名以便评价）；
3. 其他小组成员补充、质疑。
第2、3两组同学探究环节完成最快，分别推选两名同学共同完成板书，填写正弦函数的图像和性质表格，学案设置只给出大体框架，发散学生思维，小组合作产生思维碰撞，合作生成知识。 学生填写完毕，老师不急于做正误评价，征集其他学生意见，其他组同学踊跃发言。 补充完成正弦函数的图像和性质。 在完成过程中，对有关对称问题提出了质疑。 两个小组出现激烈争论。 生1：由于图像关于原点对称所以为奇函数，由于函数为奇函数，图像关于原点对称。 生2：由于正弦函数有周期，故此对称中心有无数个。 在多名学生的共同参与讨论中，产生正确答案，正弦函数的对称中心为（kπ，0）（k∈z），从而也得出对称轴等其他正确的性质。 研讨过程中，部分学生产生疑问。 老师参与讨论，引导学生分析探究。
本环节的完成，充分调动了学生小组合作参与的积极性，完全由学生得出三角函数的性质。 老师并不用过多讲解，只需引导学生探索、发现。 学生在合作质疑中完成知识的建构。
教学事件4：小组合作完成自主探究
任务：自主探究
要求：1. 独立完成余弦函数的性质探究，并写在学案上；
2. 个人完成后，小组长带领大家会诊答案；
3. 最先完成的小组，两名同学上台合作展示（写上组名以便评价）；
第1组完成最快，中心发言人积极要求到黑板展示。 并在黑板讲述类比正弦函数的性质观察图像得出余弦函数的性质，展示了正确的书写结果。 老师带领同学们给出了激励性评价，征集意见时，其他同学没有疑问。
本环节教师只起到引导作用，学生积极参与，由图像观察研究出函数的性质，印象深刻，思维活跃。 大胆放手，精心设计，学生会全身心参与、思考，不仅获得知识，更能获得深层次的思维训练。
教学事件5：小试牛刀 性质的简单应用
任务：教师预设题型训练，引导学生学以致用，为下一环节教学奠定基础。
要求：1. 独立完成；
2. 完成后组长带领大家会诊答案；
3. 完成最快的小组展示答案。
第4组同学完成较快，展示了学习答案，并由3名同学回答了解题方法。 针对第2题的比较大小，生3运用正弦函数、余弦函数的单调性解决，生4观察函数图像解决，生5提出运用三角函数线解决，体现学生的多角度考虑问题，一题多解的解题思路。
本环节学生完成得很好，老师和同学共同做出评价，肯定并激励学生多思考，但是同时老师根据学生的思维最近发展区提出学习性质后，能简约地使用之，解决问题又多出一种好的方法，学以致用也。
教学事件6：团队合作，编写题目。 发挥合作共赢，思维碰撞，创新拓展的精神。
任务：运用所学知识编写题目，好题共享，智慧漂移分享。 要求：1. 组内合作研究，编写一道利用性质解决的题目；
2. 组长上台展示题目；
3. 三分钟倒计时开始。
课堂中6个组的同学都编写出了运用性质解决的问题，当堂选取第5组同学的题目让大家探讨研究并书写出解答过程。 题目是：
已知函数y = 2sin-x + ，求：（1）最大值；（2）求单调减区间；（3）求对称中心。
这次给第6组同学机会，上台展示他们的解题过程，老师对同学们的表现给出激励性评价。 强调解答题的规范书写。 教学事件7：课堂小结 布置作业
任务：总结学习过程的收获，布置课下作业。
操作：引导学生从三维目标、自我表现和收获等方面做出总结，老师对各小组的表现给出综合评价。 分层布置课下作业。 课堂小结着重对同学们的课堂表现给出激励性评价。 本环节，学生总结到位，不仅把所学知识正弦函数余弦、函数的性质的共性和特性总结出来，而且总结出课上运用研究函数的方法。 恰好碰撞了老师预设的一首诗，课堂结束。
总评：这节课在高一新授课中较好地利用了小组合作课堂生成教学法，不但超额完成了预定的任务，而且很好地调动了学生。 在高一学生现有的能力基础上，灵活运用多维合作模式，顺利完成了新授课的教学任务。 老师整堂课没有独白式的讲解，仅在个别环节做出必要的评价或说明。 充分发挥了学生的主观能动性，课堂生成资源丰富，奇思妙想层出不穷，老师根据学生反应随时调整课堂节奏和进度，课堂容量超出课前预设。
【参考文献】
[1]佐藤学，著。学校的挑战创建学习共同体[M].钟启泉，译。上海：华东大学出版社。
[2]盛群力，郑淑贞。合作学习设计[M].杭州：浙江教育出版社，2006.
[3]刘林，姜连国。论高三复习课堂的合作学习模式[J] .物理教师，2009（2）.
关键词：正弦定理 余弦定理 应用
正弦定理与余弦定理沟通了三角形中边与角的关系，用这两个定理可实现边与角的转化，从而简化问题，明确解题方向。正弦定理与余弦定理在解三角形的问题中有着广泛的应用，下面介绍几种典型的应用。
一、求边长
二、求角
分析：由于已知条件中既含有角又含有边，而未知量只是角，所以解此类问题的方法是由正弦定理把边转化为角，再进行化简。
三、判断三角形的形状
在判断三角形形状时，主要通过三角形边或角之间关系进行判断，将已知条件利用正弦定理统一为角的关系，或用余弦定理统一为边的关系，有时也可以结合两者运用。
四、解决实际问题
将某些实际问题转化为解斜三角形的问题是一个难点。突破这一难点的关键在于如何将实际问题转化为数学问题，其方法是画出示意图，这样有助于将抽象问题具体化、形象化。通常总是将实际问题中的长度、角度看作三角形相应的边与角，从而构造三角形，创造应用解三角形的情景，进而运用有关解三角形的知识去解决问题。解此类问题的解题步骤为：
（1）根据题意画出示意图；
（2）定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知量和未知量；
（3）选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的准确性；
（4）给出答案。
例 6：在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O（如图1、2）的东偏南度方向 300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度向西偏北 45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域， 当前半径为60km，并以 10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
分析：由题意，t小时后台风移动20t千米到达 A 处，∠ OPA=θ-45°，可由余弦定理求O A ， 此时台风侵袭的范围为以 A 为圆心，（60+10t）为半径的圆的内部，若 |OA| ≤（60+10t），则城市受到侵袭。
五、正弦定理与余弦定理之间的联系
在正弦定理与余弦定理的教学中，我们一般会强调：正弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角。余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：①已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；②已知三边，求三个角。但往往忽略他们之间的内在联系，致使大多数学生对于已知两边和其中一边的对角这种问题，会首先考虑正弦定理，事实上是可以用余弦定理解决的，下面试举一例：
一、积极创设情境，使学生“想问”
在教学工作中，经常听教师议论：现在的学生太懒了，学问学问，随学随问。可学生就是不问，即使不会也不问，真拿他们没办法。传统的课堂教学模式造成了学生对教师迷信、崇拜和盲从，学生对困惑既渴望质疑但又害怕“出错”。思维活动总不能跳出教师预先设计好的“圈子”，同时又生怕因为质疑遭到教师的训斥。因此学生已习惯于被动地、无条件地接受知识（哪怕是错误），不敢向教师质疑，更不敢向课本质疑。因此，我们应该积极创设情境，让学生质疑，使质疑成为学生的自身需要。
案例一：在学习几何概型时，老师在走进课堂的第一句话是：“如果我每天早上到校上班的时间是7点到8点之间的任何一个时刻，并且每个时间是等可能的，请问我7点半之前到校的概率是多少？”学生不很确定地答出0.5后，教师乘胜追击：“这是古典概型吗？为什么？”由此引出了本节课的学习内容，教师接着问：对于这节课你想学习哪些内容？学生立即兴趣高涨，自觉主动提出学习目标，自觉主动提出问题解决问题；正是在设疑――解疑――质疑中师生合作，轻松完成了本节的学习任务。
反思：数学来源于生活，最终服务于生活。实践证明，当学习的材料来自于现实生活时，学生的学习兴趣会倍加高涨。我们要利用现实生活或实际需要中的素材，创设情境，巧妙设疑，让学生主动质疑。这样既可让数学课贴近生活，又可提高学生学习数学的兴趣，培养他们主动质疑的习惯。教师在教学中应抓住一个“巧”字，掌握一个“活”字，根据具体情况，积极创设情境，学生就乐于将自己的疑惑提出来。另外，教师在教学设计中还要对学生的质疑有充分的考虑，做到心中有数、“案”中有人。给学生的质疑创造良好的机会，提供充足的时空。
二、想方设法营造氛围，使学生“敢问”
民主和谐的教学氛围是学生积极主动性发挥的前提，它能消除学生的紧张心理，使学生处于一种宽松的心理环境中。学生心情舒畅，就能迅速地进入学习的最佳状态，乐于思维，敢于质疑。因此，教师要与学生角色平等，变“一言堂”为师生互动。在课堂上教师要以饱满的热情、真诚的微笑面对每一位学生，特别是对学困生更应该倾注以爱心和耐心，使其深刻地感受到教师的厚爱和关注，真正体会到自己是学习的主人。从而缩短与学生之间的心理距离、角色距离，建立朋友式的新型师生关系。其次，要允许学生质疑“出错”。这是学生敢于质疑的前提。
我们教师善问只是为学生树立了“问”的榜样，而“善待问”才为学生的质疑提供了可能。因此，我们要采用语言的激励、手势的肯定、眼神的默许等手段对学生的质疑行为给予充分的肯定和赞赏。一个人如果体验到一次成功的乐趣，就会勇气倍增，激起无数次的追求。教师要使学生认识到畏惧错误就是放弃进步，学生一旦具有这样的意识，就会消除自卑心理，毫无顾忌地勇于质疑。
三、培养良好习惯，使学生“好问”
激疑是使学生好问的一种策略。课堂上，教师可以精心设置似是而非的问题，巧妙揭露学生已有认知与数学知识之间的矛盾，从而激发学生质疑。这是一个特殊的方法，常用于错题分析中，教师可以给出形似正确而实为错误的解答，让学生剖析、质疑，改正错误，形成正确的结论。
案例二：讲评这样一个问题：已知：-4≤a-b≤-1，-1≤4a-b≤5，求9a-b的取值范围。教师先直接给出两种不同的解法（答案不同，解法略），让学生分析哪一种方法是正确的，这样先让学生在认知上产生矛盾，然后乘势让学生修改，探索出新问题，获得新启发。这样为学生营造了活泼的学习环境，激发学生质疑，最后得出合理的解释。
反思：在教学中，若能抓住时机 ，引导学生质疑，就能培养学生不拘于教材和教师说教，创造性地接受事物，因此在课堂教学中，教师要允许学生质疑时的“七嘴八舌”。只有让学生拥有一份自然、无拘无束、轻松愉快的心情，才会使学生焕发生命的活力，才能激发学生质疑和创新的兴趣。
导疑是驾驭学生质疑习惯养成的保障。案例三：“余弦定理”一节课，在学习了正弦定理的基础上，引领学生在课堂质疑了如下几个问题：
1. 余弦定理与正弦定理有什么区别和联系？
2. 余弦定理和勾股定理有什么关系？
3. 余弦定理还有其他的证明方法吗？
4. 用正弦定理解三角形时会出现无解、一解、两解的情况，那么用余弦定理解三角形时是否也会出现无解、一解、两解的情况？
反思：学生质疑的情绪极其高涨，在充分讨论的基础上，教师给予适当的点拨，诱导学生拨云见日、变阻为通，从而使学生进一步理解了它们的联系和区别。牢固地掌握了正余弦定理。教师导之有方，常导不懈，学生便能自获其知，自增其能。
四、教给学生方法，使学生“会问”
常言道：“授之一鱼不如授之一渔”。每一个教师都应该充分认识到，培养学生学会是前提，而让学生会学才是目的。我们要让学生想问、敢问、好问，但更应该让他们会问。要使学生认识到不会问就不会学习，会问才是具备质疑能力的重要标志。因此，教师要做好示范。学生的一切活动都是从模仿开始的，质疑也是如此。教师应注意质疑的“言传身教”。同时，我们应该使学生明确在哪儿找疑点（找茬儿）。
下面我就结合本节课在此和大家做一次交流，希望咱们能够共同进步！
一、“导学案”的编写质量是根本
1.教材分析：
“两角差的余弦公式”是数学必修4第三章第一节第一课时的内容。它是三角函数线和诱导公式等知识的延伸，是两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式等知识的基础。对三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等问题的解决有重要的支撑作用。
2.学情分析
学生已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。但学生的逻辑推理能力毕竟有限，要发现并证明公式C(α-β)有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流，探索两角差的余弦公式，完成本课的学习目标。
3.教材处理
以遵循教材安排意图为原则，让学生体会由特殊到一般的思维过程，即先用数形结合的思想，借助单位圆中的三角函数线，推出角α，β，α－β均为锐角时公式成立。而对于α，β为任意角时的情况，运用向量的知识进行探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，使学生易于理解和掌握。然后通过有梯度的练习、变式训练、分层作业等巩固公式。
4.教学重点、难点
重点：两角差的余弦公式的推导过程及简单应用
难点：两角差的余弦公式的猜想与推导，探索过程的组织和引导。
5.导学案设计
1．两角差的余弦公式的猜想与发现是一个难点．让学生用特殊值验证而发现问题。
2.用三角函数线推导公式时，辅助线的添加对学生的思维有很高的要求，因为学生可能不明白为什么要添辅助线和如何添辅助线，也不会想到用“割补法”求正弦线、余弦线．这时一要让学生联系与这个内容相关的已学知识，二要联系数形结合思想，我通过问题导读分层提问引导推证过程，从而使学生理解就可。
3．用向量法证明两角差的余弦公式多数学生也难以想到．我则通过问题导读在引导学生仔细观察的构成要素和结构特征的基础上，联想到单位圆上点的坐标特点和向量的数量积公式，努力使数学思维显得自然、合理；用向量方法证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨的错误，因此导学案在此进行了设问，追问的环节，。
4．导学案增加了例题导读项目，旨在让学生应用知识合理分析，规范答题。
二、“导学案”的课堂使用是关键
1. 自主课教学
⑴课堂设计
1）、通过个人展示和小组内互查的方式完成温故互查栏目，本栏目的设计意图是有助于学生更好的完成本节课的学习任务
2）、精彩导课，激发学生对本节课的兴趣。
3）、明确学习目标，带着问题进行学习。
4）、学生通过独学、群学这些学习环节，去完成导学案中问题导读、自主测评、展题设计栏目，把不会的问题总结出来，在自主课结束时由小组长反馈给老师，从而确定展示课的展示内容。教师深入到每个小组中了解情况，确定展示课上的展示小组，点评小组。寻找新生成的课程资源。
⑵课堂效果
同学们都能够紧张且高效地完成导学案各项要求，认真独学、积极对学和群学；及时反馈了已解决、未解决和新生成问题！
2. 展示课教学
⑴课堂设计
1）教师总结自主课出现的问题，及完成的学习目标与未完成的学习目标。
2）学生积极主动的展示、点评、质疑，归纳，共同去完成展示课的学习目标。
3）有学生对本节课所学的内容进行总结、归纳。
4）检测学生的学习成果，学生在有限的时间内独立完成达标测评栏目。
⑵课堂效果
课堂气氛热烈、同学们展示欲望强烈，展示与质疑讨论精彩纷呈、高潮迭起，通过当堂方法总结和达标测评反馈来看，学生们对知识的掌握全部可达要求！
三、“导学案”的使用效果是原动力
《数学课程标准》指出，数学教学应激发学生的学习积极性，帮助学生在自主学习活动的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
实施“导学案”教学后，最明显的变化是学生自主学习力得到了最大的释放，以前是教师逼着学，现在是学生自己要学。首先调动了学生并形成强烈的学习动机，增加学习的兴趣，使学生愿学和乐学，解决了学生中存在的对数学厌学的问题。
其次，导学案强化了学法指导且任务明确操作性强使学生能够在明确学习目标的基础上结合问题导读案进行自学、对学和群学；
再次，导学案通过展题设计既给了学生小组交流的机会有给了他们一个彰显个性的舞台；凸显了教与学的选择性、合作性和竞争性，学生之间的相互讨论也加强了，也主动请教老师了；学生们的兴趣变的更加浓厚，成绩提高明显，且学习数学的信心也比以前更足了。
四、反思的几个问题
1，问题导读的设计需再上台阶，问题导读又称学习导航图，是导学案的灵魂；课堂知识的教授，例题的讲解全部可以通过巧妙设问、关键点处设问，层层递进，引导学生学习；本节课在公式的证法-设计不到位，没有在为什么要添辅助线和如何添辅助线处巧妙设问；结果学生仅仅在此处读懂了教材而没有充分激发起学生探究问题的欲望和探究问题的多种方法！
2，展题、自测题、达标题应精心选择，做到紧扣导学案、层次分明、题型多样、应用性强；本节课在这个环节设计到位，课堂效果十分明显！
3，课堂上应走下讲台，及时了解学情，以便在展示环节让学生全方位、多角度展示问题；这样既可以充分调动学生，更可以深化学生对知识的理解！
通过五年踏实的实践，和此次公开课认真的准备，使我更深刻地认识到教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程，是为学而教，以学定教，互教互学，教学相长的过程。教师必须改变传统的压抑学生创造性的教学环境，通过教学模式的优化，改变教师独占课堂、学生被动接受的信息传递方式，促成师生间、学生间的多向互动和教学关系的形成。我们完全可以以导学案为载体结合自主+展示的教学模式，把教学变为引导学生自主学习，大胆创造出一种真正意义上的尊重学生的创造性、相信学生的潜力的课堂，要尊重学生，多表扬学生，缩小课堂学习与解决现实问题的差距，达到积极主动建构知识的目的。启发学生向老师挑战，让学生在心理自由、心理安全的条件下，大胆想象，大胆猜测，敢于标新立异，愿意展示自己的想法和做法。
一、优化导学案是坚定的基石
导学策略的第一个环节，就是课前导学案的设计。这个环节看似简单，却是整个导学过程中最为重要的一个环节，科学可行的导学案，是课堂导学成功的一半。导学案设计决不能仅仅停留在将课本知识简单地设计成填空题的形式，从而导致学生只是将教材的知识点生硬地照填了事。导学的主要目的是促使教师改变教学观念，在教学中做到以学生为主体，培养学生的创新意识和实践能力，促使教师转变角色，变知识的传播者为学生学习的指导者、引导者、合作者和促进者。而导学案的作用则在于有效地进行学法指导和点拨，使学生通过完成学案，获得知识体验和能力体验。因此，在设计学案的过程中，笔者重视知识产生过程的呈现形式，以及思维的训练过程，将每节课的预期目标设置为一定的层次：
首先，每个学案能够达到的目标，就是学生要通过完成学案，掌握学习本节课知识所必备的一些基本能力，比如基本运算能力、识图作图能力等。为了达到这个目的，教师一般是通过设置一些简单习题让学生事先完成，比如在学习“指数函数图像和性质”时，笔者会在学案中设计几道作图题：例如请做出下列函数图像： f（X）=2X, f（X）＝（）X， f（X）=2X+1， f（X）＝2X+1+1。再比如学习线性规划的第一节《二元一次不等式（组）与平面区域 （一）》时，笔者会设置几道根据给定的不等式及不等式组做平面区域问题。又如学习“对数的运算”笔者设计了几道直接根据对数的定义进行对数求值计算题，这样的问题一般不会设置太难，使得绝大多数学生都可以独立完成。这样设计，一方面可以树立学生的自信心，另一方面可以训练学生的基本能力，以保证后面的学习能够更顺利地进行。
其次，对于一些较难理解的概念和习题，笔者重视对学生进行学法上的指导和思维上的点拨，并重视学生获得对知识产生过程的体验。例如在讲解“二倍角公式”时，笔者在自主预学部分先设置一道复习填空题：正弦余弦和正切的和角公式，然后出示：
思考1.若令=,上述公式能转化成什么形式？
接下来给出填空：即：cos（+）=
sin（+）＝
tan（+）＝
这样，学生通过复习和思考，不仅获得了新知识，而且体验了知识的产生过程，并通过设疑：根据同角三角函数基本关系式，正弦余弦函数的二倍角公式还可做哪些变形？然后给出填空：
cos2= =
又由上述变形，可得：cos2= sin2=
一方面对学生进行思维指导，使学生的思维不至于放的太散，同时又能带着疑问进行思考，给学生以一定的发散空间。在学习《两角和与差的正弦余弦公式》一节时，在公式给出，并且设置了一道直接应用公式计算的题目之后，笔者给出变式：
已知，都是锐角，cos=，cos（+）=-，求cos 的值。
对于预习过程来说，这道题对大多数学生都有一定的难度，有些学生可能会尝试直接应用公式展开解题，这样不仅会增大本题的运算量，对于运算能力差些的学生来说，可能还会使解题过程陷于僵局，因此笔者在导学案上给出思路点拨：1.角与角+有什么关系？ 2.是否可以将角用+和表示出来，从而利用已有公式进行相关计算？
另外又在题目的下方给出问题：刚刚的解题过程体现了那种数学思想？这样设计不仅可以调动学生思维的积极性，对知识进行建构，更能够提升学生的思维能力。在这样的一些思考进行之后，笔者在导学案上自然给出接下来的探究内容：
1. cos =cos[（+）]=cos（+）cos+sin（+）
2. cos[（+）-] =cos（ ）cos（ ） sin（ ）sin（ ）
3.cos2=cos[（++（-）]＝cos（ ）cos（ ） sin（ ）sin（ ）
然后进一步设疑：你还能举出多少个类似的例子？通过一步步循序渐进的知识构建以及思维构建，使学生形成能力。对于一些自主预学有困难的学生来说，也能够利用这样的环节给后面的课堂导学提供伏笔，使学生可以带着问题思考和探究，并就自己不懂的部分在课堂上恰当的提出疑问。
二、优化课堂导学过程是关键
好的导学案是成功的一半，而精彩的课堂导学则是导学案思路得以很好贯彻和实施的载体。有些教师在使用导学案时只是将它作为自己课堂教学的一个流程，按照流水线的方式将导学案答案对完就认为课堂内容完成了，这样的课堂绝不是高效课堂，再好的一份学案这样执行起来它的意义和价值都将大打折扣。课上导学环节教师应适时点拨，以期达到醍醐灌顶的效果。课上的导学既是对学生课前预习情况的检查，更是师生、生生共同解决学案中疑难问题的过程。因此，这个环节要求教师能够把握时机，对学生进行诱导，以保证学生能够对本节内容真正理解，并能够掌握必要的学习方法，获得适当的学习体验，以期形成一定的学习能力。导学课堂绝不是将课堂完全交给学生，而是一个生生配合、师生合作的过程。为了真正实现高效课堂，应从以下三个方面进行导学：
1.每节课都设计了与导学案同步的多媒体课件，以增大课堂容量，节省一些不必要的环节。对于导学案中的一些基础练习题，可以在课堂上直接让学生回答并利用多媒体给出标准答案。
2.一些较难理解的概念，可在课堂上给出一定的时间让学生间进行自主提问，合作探究，从而挖掘概念的内涵和外延，对于学生挖掘不出来的部分，教师可以通过设疑和启发的方式帮助学生理解。
本节课的教学内容是《普通高中课程标准实验教科书・数学（4）》（人教A版）。三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。
直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身。
二、学生学习情况分析
在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。
三、设计思想
教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学。
四、教学目标
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；
2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。
3、通过单位圆和角的终边，探讨任意角的三角函数值的求法，最终得到任意角三角函数的定义。根据角终边所在位置不同，分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号。借助有向线段进一步认识三角函数。
4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。
5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。
五、教学重点和难点
重点： 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）。
难点： 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；
六、教学过程设计
教学过程
一、复习引入、回想再认
（情景1）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数。 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？
学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：
学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）. 温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少。
三、探究新知
1.探究：结合上述锐角 的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？
显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了。所以，我们在此引入单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点 为圆心，以单位长度为半径的圆。
2.思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义？
如图，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 ，那么：
（1） 叫做 的正弦（sine），记做 ，即 ；
（2） 叫做 的余弦（cossine），记做 ，即 ；
（3） 叫做 的正切（tangent），记做 ，即 .
注意：当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点 ，从而就必然能够最终算出三角函数值。
设计意图：
初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键。 这样做能够使学生有效地增强函数观念。
练习巩固、理解记忆
自学 例1：求 的正弦、余弦和正切值。
角α的终边经过点P（-3，-4），求α的正弦，余弦及正切值。
课堂练习：
p17题1、2、3
处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义。
强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π/2 、π、3π/2 等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值。
设计意图：
及时安排自学例题、自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的)○(课堂教学始终。
七、教学反思
新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程，这节《任意角三角函数》的教案，主要围绕这一点来设计。
三角向量是高中数学教学中很重要的两个章节，在高考考纲中其大多数内容都属于级、级要求，正余弦定理以及向量的数量积更是重中之重，是高考重点考察的内容，特别是在填空题中这两部分的内容考得比较灵活，所以在平时的教学中，我们除了要教会学生一些常规的解法外，还需要引导学生掌握一些特殊的解法，开拓他们的思维。
建系是三角向量中一种比较灵活的解法，对于很多新题难题能起到意想不到的效果，下面先通过几个例子，来介绍建系这种思想的特殊功效。
点评：这里涉及到面积的两种算法，法一既要用余弦定理又要用到基本不等式，还要把正弦转化为余弦，对学生的能力要求比较高。法二通过建立坐标系将B、C两点固定后就转化为研究A点纵坐标的范围，学生就自然会通过题目中的条件去分析点A的轨迹，最后发现是个圆，从而快速的得到答案。
通过这个例子我们发现建系以后，题目中的条件得到了很好的转化，处理起来比较方便，接下来我们再来看几个例子。
解析：大多数同学拿到这道题目都会感觉无从下手，条件不会转化。我们先来看一种解法：
解：E、F是AB、AC的中点， EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半， ABC的面积=2PBC的面积，而ABC的面积=2， PBC的面积=1，
（1）求该船的行驶速度v（海里/小时）；
（2）在离观测站A的正南方20海里的E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由。
直线BC经过点E，即货船不改变航向继续前行会有触礁的危险。
点评：如果用常规方法，思路比较清晰，但要同时用到正余弦定理，运算量比较大。建立坐标系来做的话，题目中的角度就有了几何意义，通过三角函数的定义快速求出各点坐标，通过直线方程来说明三点共线，这个比通过计算线段长度来证明要简单得多。
关键词 数学教学 《解三角形》 苏教版
中图分类号：G633.6 文献标识码：A
案例呈现：在已知三角形的两边a、b和一边的对角A，求角B时，如果A为锐角，那么可能出现以下几种情况：
如果为钝角，那么可能出现哪几种情况？试画出草图加以说明。
案例剖析：
方法一：利用正弦函数判断三角形的解的情况
按照教材的布局安排，在学习完正弦定理之后让学生阅读这个案例，采用的理论依据是正弦函数的定义。
学生通过小组讨论，结合三角形的相关性质，如三角形的内角是，三角形中大边对大角定理等，通过作图，得出如下结论：
若A为钝角，则角A所对的边a是三角形三条边中的最大边。
解题方法归纳：在解题时需要首先判断角A的类型（锐角，直角还是钝角），然后画图利用正弦函数的有关知识来判断即可。这是一种简捷，准确且形象的方法。
解题思想：数形结合，通过图形找出符合题目要求的结论。
解题方法回顾评析：在课堂探究此法的过程中，学生理解有困难的地方主要集中在角为锐角时，三角形有两个解的判断条件bA
对于某些动手能力较差的学生，在做这种练习题时，不知道几何图形该从何画起，也不知道该从哪里下手讨论边角关系，自然判断不出三角形解的老师这样画图是理所当然的，但如果让他们自己在练习本上或到黑板上画出相应的图形时，他们这时就会呈现出无所适从的状态，根本就画不出图形。这样的学生有很多人比较擅长于列出代数式，通过解方程、二次函数或不等式来确定目标到底在哪里，这样会使他们内心更踏实，因为他们有了充足的底气（能够列出表达式，肯定就能解出答案）。
这些学生在遇到与前面例题相似的题型时如果能够做对题目，也是参考着笔记，硬套公式算出来的。我们不认为他们是很差的学生，因为他们中有不少人平时都能很积极地思考问题，也经常会用不同的思路来解题，然后兴致很高地来向老师求证他们的正确性。
针对这种情况，在学完余弦定理时，我又拿出案例中的题目，让班上学生思考除了用正弦函数来做，还有没有其他的方法。