椭圆及其标准方程(优秀2篇)

作为一位杰出的老师,总归要编写教学设计,教学设计是教育技术的组成部分,它的功能在于运用系统方法设计教学过程,使之成为一种具有操作性的程序。那么你有了解过教学设计吗?下面是小编精心为大家整理的椭圆及其标准方程(优秀2篇),希望能够给予您一些参考与帮助。

椭圆方程的解法浅析 篇1

摘 要:在高中阶段,解析几何是数学中的一个重点和难点,而椭圆则又是解析几何中的一个重点。文章就如何学好椭圆方程,总结了一系列的解法。

关键词:数学 椭圆方程 解法

在高中阶段,解析几何是一个重点和难点,而椭圆则是解析几何的一个重点,在刚刚学习椭圆时,对于怎样求椭圆的方程,绝大多数同学会觉得比较困难,其实求椭圆方程关键是注意数形结合,函数与方程的思想,等价转化的运用,熟悉椭圆的标准方程和相关性质,进行对椭圆方程的求解,那么求椭圆方程的常见方法有哪些?通过十几年的教学,我对它进行了总结,常见的有以下几种方法。

方法一:直接利用椭圆的定义求椭圆方程。椭圆有第一定义和第二定义,用这两种定义在不同的条件下用不同的方法求椭圆的方程。

例1:已知动圆M过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相切,求动圆圆心M的轨迹方程。

分析:根据圆的性质和椭圆的第一定义进行处理,注意轨迹和轨迹方程的区别。

解:定圆B的圆心是(3,0),半径是8

设动圆M与定圆B内切与点C,则点M,B,C三点共线且MB+MC=8,所以MB+MA=8,即动点M到两个定点A,B的距离的和为常数8(大于AB=6)。

则点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且2a=8,2c=6,所以a=4,c=3,b2=a2-c2=7,动圆圆心M的轨迹方程是+=1。

例2:求中心在原点,过点1,, 一条准线为-4=0的椭圆方程。

分析:直接利用椭圆的第二定义进行处理。

解:设椭圆右焦点为F(c,0),d为1,到椭圆右准线的距离,则=. 即= ①

曲准线方程为x==,得=c ②

②代入①,化简得c1=,c2=,

解得c1=,c2=,代入②及a2=b2+c2,得a12=4b12=1,a22=b22=.

所求椭圆的方程为+y2=1,+=1.

方法二:用待定系数法求椭圆方程。待定系数法是用椭圆方程中的待定系数如a,b,c等先看成已知,后根据条件解出a,b,c等。

例3:已知椭圆的中心是坐标原点,对称轴是坐标轴,一个焦点为(2,0),且经过点M(2,),求这个椭圆的标准方程。

分析:根据已知条件把椭圆假设成标准方程的形式。

解:椭圆的焦点在x轴上

设它的标准方程为+=1(a>b>0)

椭圆的中心是坐标原点,一个焦点为(2,0)

椭圆另一个焦点为(-2,0)

由椭圆的定义可知

2a=+=6

a=3

c=2, b2=a2-c2=9-4=5

所求的椭圆的标准方程为+=1

例4:已知椭圆经过点(-,)和(,),求此椭圆的标准方程。

解:设椭圆的标准方程+=1(m>0,n>0,m≠n)

则有+=1+=1,

解得m=6,n=10。

所以,所求椭圆的标准方程为+=1

方法三:利用新设定适当的坐标系求椭圆的方程。这方法一般原题目没有坐标系,要求自己设定适当的坐标系进行解题。

例5:已知三角形的底边BC=16,AC和AB两边上的中线长之和为30,求此三角形重心G和定点A的轨迹方程.

分析:本题要注意一定要设最合适的坐标系,使得解题变得最简单。

解:以BC边所在直线为x轴,BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系

设G(x,y),由GC+GB=×30=20

知G点的轨迹是以B、C为焦点,

长轴长为20的椭圆且除去x轴上的两顶点

则方程为+=1(y≠1)

例6:如图所示,我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地点B(离地面最远的点)距地面2384km,并且F2、A、B在同一直线上,设地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程(精确到1km)。

解:建立如图所示直角坐标系,使点A、B、F2在x轴上,

则a-c=OA-OF2=F2A=6371+439=6810

a+c=OB-OF2=F2B=6371+2384=8755

解得a=7782.5,c=972.5,b===≈7722

卫星运行的轨道方程为+=1

方法4:中间变量代换法求椭圆方程。一般在椭圆上的点的坐标设而不解,大多情况要用根和系数的关系对已知条件进行适当的运算和处理,而处理的方法基本多有固定的方法。

例7:若中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为,且OAOB,求椭圆的方程。

解:椭圆的方程ax2+by2=1,

A(x1,y1),B(x2,y2),M(,).

由x+y=1ax2+by2=1消去y得(a+b)x2-2bx+b-1=0,

=,=1-=,

M(,),

由kOM=得b=a ①

又OAOB,x1x2+y1y2=0,

即x1x2+(1-x1)(1-x2)=0,2x1x2-(x1+x2)+1=0,

-+1=0, a+b=2 ②

联立①②得a=2(-1),b=2(-1)

方程为2(-1)x2+2(-1)y2=1.

方法5:利用椭圆系求椭圆方程。对于椭圆方程中,一些具有共同特点的可以用统一的方程来求解,例如具有共同的焦点,共同的离心率,焦点不确定在哪一个轴等,都可以利用椭圆系求椭圆方程这里就不再举例。

其实,中学求椭圆的方法还有其他方法,但主要的方法我认为是上面的几种,这几种方法包含大多数求椭圆方程的情况,还有不全的地方请同行指正。

作者单位:江苏省建湖县职业技术教育中心

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椭圆及其标准方程 篇2

中图分类号:G633.6

【案例背景分析】

《椭圆及其标准方程》一课是新课标中职人教版的内容,是在学生已经初步认识曲线与方程、直线的方程、圆的方程的基础上学习的。

椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容:一是椭圆的定义;二是椭圆的标准方程。椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的,所以教材把对椭圆的研究放在了重点,在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用。先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然。学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的。

教材从学生熟悉的圆的定义出发,通过实际操作活动:准备2颗图钉及一根定长绳子做圆和做椭圆,对比圆的定义及利用定义作图过程,给椭圆下定义求出其标准方程。让学生应用所学的知识去解决学生身边的、生活中的问题,体会数学与生活的密切联系,产生学习数学的兴趣,感受成功的喜悦。安排此课,给学生们创设一种自主探究的学习氛围,让学生在探究问题――探索问题――发现问题――解决问题。

【案例描述】

1、 创设情景,引出课题――椭圆定义及其标准方程。

问:我们以前学习过圆,请同学们回忆一下圆的定义。

答:平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。

问:能否利用手头的工具和圆的定义画圆?(课前要求学生每人准备一块硬纸板,两颗图钉及一根定长绳子)谁上黑板来演示呢?

问:现在把这根绳子的两端分别系在两颗图钉上,并分开固定在两个点F1、F2上,并保持拉紧状态移动铅笔,请你们再画一画会是什么样的曲线?

答:椭圆。

(黑板上写出课题:椭圆定义及其标准方程)

问:大家看,椭圆是一个很美的图形,生活中你在哪里见过椭圆的这种曲线,能否举例呢?

答:地球运动轨迹,……等等。

2、 通过实验,自主探究,椭圆的定义以及椭圆的标准方程。

问:刚才大家对椭圆有了形象上的认识,我们不仅作出了椭圆这个曲线,而且还在生活实践中找到它的应用,下面我们能否结合圆的定义以及圆的画法给出它的定义呢?

答:椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹。

(教师在黑板上写出学生总结的椭圆定义,强调常数必须大于两定点的距离。)

问:已经知道椭圆的定义,下面我们要来研究椭圆的标准方程,求曲线的方程有哪些基本步骤?

答:建、设、限、代、化。

问:“建”即建立直角坐标系。如何建立直角坐标系?你认为如何建立坐标系比较合适?

观察椭圆图形的特点,椭圆是不是对称图形?

答:是。

问:“化”,如何化简两个代根号的)●(式子?

①方程中只有一个根式时,需将它单独留在方程的一边,把其他各项移至另一边;②方程中有两个根式时,需将它们分别放在方程的两边,并使其中一边只有一项。化简、整理得到

这种形式我们认为还不够简洁,因为2a>2c,即a>c,所以>0即 是一个正常数,如果把 表示成一个字母的形式,那么方程就简洁多了,那么你认为如何设这个正常数更合理呢?(改变动点P(x,y)的位置观察 在图中的几何意义)

我们可以设 (b>0)

师板书:椭圆的标准方程:焦点在x轴上:

问:焦点在y轴上的椭圆标准方程是什么?你能类比得到吗?

答:x与y互换即得。焦点在y轴:

问题8:焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆标准方程有何共同点和不同点?

学生总结规律:共同点:左边是平方和,右边是1。

不同点:焦点在x轴的椭圆― x项分母较大

焦点在y轴的椭圆― y项分母较大

练习巩固(课件出示,生口答)

(一)以下关于曲线的方程表示椭圆吗?

(二)写出下列椭圆方程中a,b,c 的值,并指出焦点所在位置

(三)根据下列条件写出椭圆方程

(1)a=5,c=3,焦点在x轴的椭圆

(2)b=1,两个焦点的坐标分别为(0,2)、(0,-2) 的椭圆

(3)焦距为6,且椭圆上一点到两焦点距离的和是10

师:由此题可得出规律,应先定位(即确定焦点位置),再定量。

本节小结:

问:本节课都学到了什么?

生先答,师再补充:1个定义――椭圆定义

2个公式――焦点在x轴上椭圆标准方程焦点在y轴上椭圆标准方程

结束语:今天我们知道了椭圆的定义,椭圆的两种标准方程,c与焦距有关a,b与椭圆有什么关系呢?椭圆有哪些性质呢,下节课研究。

【案例反思】

1、通过动手画椭圆,感受椭圆形成过程,从而找到椭圆形成的本质特征,并进一步培养了学生动手操作能力和小组合作意识。

2、本节课突破了为什么要把“焦距”和“常数”设为2c和2a?而不设为c和a?以及为什么令a2-c2=b2和为什么要规定”b>0,通过图形展示,增加直观性,更好的帮助学生理解了a,b,c的几何含义以及上述设法的合理性。

3、通过动笔推导,化简两个根号,提高学生了运算能力。

4、本节课,学生在教师和同伴的帮助下,亲身经历了“问题――探索――发现――解决问题”的多次循环的探究过程,实现“为什么”、“怎么办”的思维启迪,从而达到开发智力、发展能力的目的。所以,在我们的日常教学中,不仅要培养学生解决问题的能力,更要注意培养学生发现问题和提出问题的能力。

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